Studijní materiál: Binární operace. Jejich vlastnosti. Algebraické struktury a jejich zobrazení

1. Pojem binární operace a její základní vlastnosti
Analyzujme jednoduchou početní operaci, kterou je sčítání přirozených čísel. Například
...
Výše uvedený zápis můžeme modernizovat ve tvaru
...
(2) můžeme zobecnit na schéma
...
Sčítání přirozených čísel můžeme tak vyjádřit v pojmech moderní matematiky jako zobrazení kartézského součinu do Z výše uvedeného výkladu vyplývá, že obecně můžeme binární operaci ∆ na množině definovat takto.
Definice 1.1. Pod binární operací ∆ definované na množině rozumíme zobrazení kartézského součinu do . Symbolicky
...
Nebo též
...
Proveďme i s demonstracemi výčet základních vlastností binárních operací.
1. Komutativnost operace
Definice 1.2. Operaci nazýváme komutativní na množině právě tehdy, když platí
....
Příklady komutativních operací: číselné operace sčítání a násobení, množinové operace sjednocení, průnik a symetrický rozdíl, logické operace konjunkce a disjunkce, sčítání vektorů, sčítání matic.
Příklady nekomutativních operací: číselné operace odečítání a dělení, násobení matic, skládání zobrazení, logická operace implikace.