Studijní materiál: Matematika

2.Jazyk matematiky


2.1. Matematická logika

2.2. Množinové operace

2.3. Zobrazení

2.4. Rozšířená číslená osa


2.1 Matematická logika

2.1.1 Výrokový počet

Definice: Indukcí podle složitosti definujeme formule výrokového počtu:
(i) Každý výrok je formule výrokového počtu.
(ii) Jsou-li a a b formule výrokového počtu, potom Ø a, a Ú b, a Ù b, a Þ b a a Û b jsou rovněž formule výrokového počtu.
(iii) Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel (i) a (ii).

Definice: Tautologie (výrokového počtu) je každá formule výrokového počtu, která je vždy pravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků).

2.1.2. Predikátový počet

Definice: Nechť M je množina.
Řekneme, že a (x) je predikát s volnou proměnnou x na množině M, jestliže platí:
dosadíme-li za x v a (x) libovolný prvek c množiny M, potom a (c) je výrok (ať již pravdivý nebo nepravdivý).

Pozn.: predikát s volnou proměnnou se někdy nazývá výroková forma

Definice: Indukcí podle složitosti definujeme formule predikátového počtu:
(i) Každý predikát je formule predikátového počtu.
(ii) Jsou-li a a b formule predikátového počtu, potom Ø a, a Ú b, a Ù b, a Þ b a a Û b jsou rovněž formule predikátového počtu.
(iii) Je-li a formule predikátového počtu a x proměnná, potom "x a a $x a jsou rovněž formule predikátového počtu.
(iv) Všechny formule predikátového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel (i), (ii) a (iii).