Diplomová práce: Matematické modely v demografii

Ve své diplomové práci se snažím popsat a použít základní matematické metody v demografii, a to jak pro diskrétní, tak spojitý případ. V prvním případě budeme pracovat s Leslieho maticemi a v druhém s Lotkovou rovnicí obnovy. Ovšem pro snadnou práci s těmito nástoji budou potřeba jisté teoretické pomůcky, jež se pokusíme připravit. Na úplný závěr bych se chtěl pokusit o zpracování reálných dat, na něž bych vystavěnou teorii aplikoval. Hlavní náplní první kapitoly je důkaz Perronovy-Frobeniovy věty, která popisuje vlastní čísla a vlastní vektory pro určité typy matic. Tento důkaz je poměrně komplikovaný, ale na jeho konci získáme zásadní nástroj pro práci s Leslieho maticemi. Před samotným důkazem si definujeme několik potřebných pojmů a zavedeme zjednodušující značení.
V druhé kapitole popíšeme Leslieho matici, která slouží k jednoduchému popsání hlavních populačních dějů porodnosti a úmrtnosti v diskrétním čase. Pro ně si zároveň zavedeme příslušné značení a odvodíme z nich další pomocné populační charakteristiky. Díky teorii popsané v první kapitole a dalším prostředkům maticové aritmetiky pak budeme schopni odvodit další charakteristiky, které budou již zásadně popisovat tendenci populačního růstu.
V další kapitole se budeme zabývat popisem populačních dějů v čase spojitém. Podobně jako v předchozí kapitole si zavedeme funkce, které popisují populační děje. Položíme definici dalších důležitých nástrojů včetně rovnice obnovy. Pro ni si posléze ukážeme Lotkovu metodu nalezení jejího řešení, již použijeme pro nalezení jednoduchého tvaru popisu populačního vývoje. Popíšeme si také charakteristickou rovnici a z ní odvodíme další důležité charakteristiky růstu populace.
Nakonec provedeme za pomoci získaných poznatků aplikaci na reálná data. Ty se budou týkat ženské populace České republiky a my se pokusíme odvodit její budoucí vývoj a tím pádem i vývoj celé české populace.