Skripta: Matematický seminář

2.3 Axiomy, definice, věty a důkazy
Základem logické výstavby matematiky je soubor axiomů, t.j. matematických výroků, které se považují za pravdivé a nedokazují se. K zavedení nových pojmů slouží definice, která stanoví název pojmu a určí jeho základní vlastnosti. Věta v matematice je pravdivý výrok, který musíme logicky odvodit - dokázat - z axiomů, definic a dříve dokázaných vět. Podle použitých postupů rozlišujeme důkaz přímý, nepřímý, důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí.
Příklad 2.6 Věta: Součin dvou libovolných sudých Čísel je dělitelný čtyřmi.
Důkaz přímý:
Jde o součin 21 * 2k = 4lk (l,k patří Z) a to bylo dokázat.
Příklad 2.7 Věta: Nechť rovnice ax2 + bx + c = 0 má celočíselné koeficienty, a ^ 0, b je číslo liché. Dokažte, ze rovnice nemůže mít dvojnásobný kořen.
Důkaz sporem:
Předpokládáme, Že rovnice má dvojnásobný kořen. Pak diskriminant je nulový. Víme, že b = 2k + 1, k e Z. Tedy D = (2k + 1)2 - 4ac = 0 => 4fc2 + 4fc + 1 = 4ac. Na levé straně rovnice je liché číslo, na pravé straně sudé a to je spor. Neplatí tedy předpoklad, že kvadratická rovnice má za daných podmínek dvojnásobný kořen.
Příklad 2.8 Matematickou indukcí dokažte, že součet Čtverců prvních n přirozených Čísel je roven Sn = 1/6(n + 1)(2n + 1).
Důkaz:
Matematickou indukcí dokazujeme výrok V(u) tak, Že nejprve dokážeme platnost V{a),
kde a je nejmenší přirozené Číslo pro danou úlohu. Pak předpokládáme platnost V(n) a
ukážeme platnost implikace V(n) ^ V(n+ 1). Pak V(n) platí pro všechna n.
V našem případě:
V{1) : Si = 4 . 1 . 2 . 3 = 1, což odpovídá Si = l2.
Předpokládáme V(n) : Sn = |n(n + l)(2n + 1).
Počítáme V{n + 1) : S(n + 1) = S(n) + (n + l)2 = |n(n + l)(2n + 1) + (n + l)2 =
i(n + l)(2n2 + 7n + 6) = |(n + l)(n + 2)(2n + 3).