Studijní materiál: Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální pocet funkcí více promenných
1 Funkce více promenných
1. Definice Reálná funkce n-reálných promenných f : Rn ! R je zobrazení, které každému x 2 Rn priradí nejvýše jedno f(x) 2 R.
Prvky x = [x1, . . . , xn] 2 Rn se nazývají body n-rozmerného prostoru Rn.
Množina Df = {x 2 Rn; 9y 2 R : f(x) = y} se nazývá definicní obor funkce f.
Množina Hf = {y 2 R; 9x 2 Df : f(x) = y} se nazývá obor hodnot funkce f.
Množina Gf = {[x1, . . . , xn, f(x1, . . . , xn)] 2 Rn+1; [x1, . . . xn] 2 Df} se nazývá graf funkce f.

2. Poznámka
1. Místo f([x1, . . . , xn]) budeme pro jednoduchost psát pouze f(x1, . . . , xn).
2. Z predchozí definice grafu plyne, že funkcní hodnotu chápeme jako n + 1 souradnici, tj. xn+1 = f(x1, . . . xn).
3. Místo x1, x2, x3 budeme psát x, y, z.
4. Pro n = 2 si lze graf f predstavovat jako rovinu, nebo její cást, zakrivenou v R3, tj. jako plochu.
5. Pro n > 2 ztrácíme možnost názorné predstavy. V prípade funkce trí promenných je grafem funkce
cást ctyrrozmerného prostoru. Z analogie mužeme ale usuzovat, že grafem funkce trí promenných
je trojrozmerný prostor, který je zakriven v R4. Jediným grafem funkce trí promenných, který
dokážeme znázornit, je graf funkce f(x, y, z) = 0. Grafem f je celý trojrozmerný prostor R3.